与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

1 & 3 & -1 & 4 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡略化します。

ステップ1: 2行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ2: 4行目に1行目の2倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}

$$

ステップ3: 2行目と3行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}

$$

行を入れ替えたので符号が反転します。

ステップ4: 3行目から2行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & -5 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}

$$

ステップ5: 4x4行列の行列式は、上三角行列の対角成分の積に等しくなります。したがって、この行列式の絶対値は次のようになります。

$$

|1 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot 5| = |-25| = 25

$$

ステップ3で1回行を交換したので、符号を反転して -25 になります。

3. 最終的な答え

行列式は -25 です。