2次関数 $y = 3(x-1)^2 - 1$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3(x-1)^2 - 1$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数が平方完成された形であることに注目します。

$y = 3(x-1)^2 - 1$

この式から、頂点の座標は$(1, -1)$であり、下に凸な放物線であることが分かります。

次に、定義域 $0 \leq x \leq 2$ における関数の値を調べます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれているので、頂点で最小値をとります。

最小値は $y = 3(1-1)^2 - 1 = -1$ です。

次に、最大値を求めます。定義域の端点である $x=0$ と $x=2$ での $y$ の値を計算します。

$x=0$ のとき、$y = 3(0-1)^2 - 1 = 3(1) - 1 = 2$

$x=2$ のとき、$y = 3(2-1)^2 - 1 = 3(1) - 1 = 2$

$x=0$ と $x=2$ での値は等しく、$y=2$ です。

したがって、最大値は $2$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -1