問題は、与えられた10個の数式を計算し、簡略化することです。それぞれの数式は、平方根を含む数式や、括弧を使った数式です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた10個の数式を計算し、簡略化することです。それぞれの数式は、平方根を含む数式や、括弧を使った数式です。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解きます。

(1) $-2\sqrt{10}(-3 + \sqrt{10})$

分配法則を使って展開します。

$(-2\sqrt{10}) \times (-3) + (-2\sqrt{10}) \times (\sqrt{10})$

$= 6\sqrt{10} - 2 \times 10$

$= 6\sqrt{10} - 20$

(2) $(-\sqrt{15} + 5\sqrt{10}) \times \sqrt{6}$

分配法則を使って展開します。

$(-\sqrt{15}) \times \sqrt{6} + (5\sqrt{10}) \times \sqrt{6}$

$= -\sqrt{90} + 5\sqrt{60}$

$= -\sqrt{9 \times 10} + 5\sqrt{4 \times 15}$

$= -3\sqrt{10} + 5 \times 2\sqrt{15}$

$= -3\sqrt{10} + 10\sqrt{15}$

(3) $(\sqrt{45} + \sqrt{15})(2 + \sqrt{15})$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{45} \times 2 + \sqrt{45} \times \sqrt{15} + \sqrt{15} \times 2 + \sqrt{15} \times \sqrt{15}$

$= 2\sqrt{45} + \sqrt{675} + 2\sqrt{15} + 15$

$= 2\sqrt{9 \times 5} + \sqrt{225 \times 3} + 2\sqrt{15} + 15$

$= 2 \times 3\sqrt{5} + 15\sqrt{3} + 2\sqrt{15} + 15$

$= 6\sqrt{5} + 15\sqrt{3} + 2\sqrt{15} + 15$

(4) $(\sqrt{3} + 5\sqrt{5})(-4 + \sqrt{15})$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{3} \times (-4) + \sqrt{3} \times \sqrt{15} + 5\sqrt{5} \times (-4) + 5\sqrt{5} \times \sqrt{15}$

$= -4\sqrt{3} + \sqrt{45} - 20\sqrt{5} + 5\sqrt{75}$

$= -4\sqrt{3} + \sqrt{9 \times 5} - 20\sqrt{5} + 5\sqrt{25 \times 3}$

$= -4\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{5} + 5 \times 5\sqrt{3}$

$= -4\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{5} + 25\sqrt{3}$

$= 21\sqrt{3} - 17\sqrt{5}$

(5) $(-2\sqrt{2} - \sqrt{5})(-2\sqrt{2} + \sqrt{5})$

和と差の積の公式: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$を使用します。

$(-2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2$

$= 4 \times 2 - 5$

$= 8 - 5$

$= 3$

(6) $(-2\sqrt{2} + \sqrt{5})^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$を使用します。

$(-2\sqrt{2})^2 + 2(-2\sqrt{2})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2$

$= 4 \times 2 - 4\sqrt{10} + 5$

$= 8 - 4\sqrt{10} + 5$

$= 13 - 4\sqrt{10}$

(7) $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$を使用します。

$(2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

$= 4 \times 2 + 4\sqrt{6} + 3$

$= 8 + 4\sqrt{6} + 3$

$= 11 + 4\sqrt{6}$

(8) $(-3\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{3} + 1)$

和と差の積の公式: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$を使用します。ただし符号に注意すると、$(1 - 3\sqrt{3})(1 + 3\sqrt{3}) = 1^2 - (3\sqrt{3})^2$

$= 1 - 9 \times 3$

$= 1 - 27$

$= -26$

(9) $(-8\sqrt{15} + 4\sqrt{10}) \div (-4\sqrt{5})$

$= \frac{-8\sqrt{15} + 4\sqrt{10}}{-4\sqrt{5}}$

$= \frac{-8\sqrt{15}}{-4\sqrt{5}} + \frac{4\sqrt{10}}{-4\sqrt{5}}$

$= 2\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(10) $(4\sqrt{20} - 2\sqrt{14}) \div \sqrt{8}$

$= \frac{4\sqrt{20} - 2\sqrt{14}}{\sqrt{8}}$

$= \frac{4\sqrt{4 \times 5} - 2\sqrt{14}}{\sqrt{4 \times 2}}$

$= \frac{4 \times 2\sqrt{5} - 2\sqrt{14}}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{8\sqrt{5} - 2\sqrt{14}}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{8\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{4\sqrt{10}}{2} - \sqrt{7}$

$= 2\sqrt{10} - \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $6\sqrt{10} - 20$

(2) $-3\sqrt{10} + 10\sqrt{15}$

(3) $6\sqrt{5} + 15\sqrt{3} + 2\sqrt{15} + 15$

(4) $21\sqrt{3} - 17\sqrt{5}$

(5) $3$

(6) $13 - 4\sqrt{10}$

(7) $11 + 4\sqrt{6}$

(8) $-26$

(9) $2\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(10) $2\sqrt{10} - \sqrt{7}$