実数でない複素数 $z$ について、$\frac{z}{4} + \frac{4}{z}$ が実数となるとき、$|z|$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数でない複素数 $z$ について、$\frac{z}{4} + \frac{4}{z}$ が実数となるとき、$|z|$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$z = a + bi$ （$a, b$ は実数、$b \ne 0$）と置きます。

$\frac{z}{4} + \frac{4}{z}$ が実数であることから、その虚部が0になることを利用します。

$\frac{z}{4} + \frac{4}{z} = \frac{a+bi}{4} + \frac{4}{a+bi} = \frac{a+bi}{4} + \frac{4(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a+bi}{4} + \frac{4(a-bi)}{a^2+b^2}$

$\frac{z}{4} + \frac{4}{z} = \frac{a}{4} + \frac{bi}{4} + \frac{4a}{a^2+b^2} - \frac{4bi}{a^2+b^2}$

$\frac{z}{4} + \frac{4}{z}$ の虚部は $\frac{b}{4} - \frac{4b}{a^2+b^2}$ です。これが0になるので、

$\frac{b}{4} - \frac{4b}{a^2+b^2} = 0$

$b(\frac{1}{4} - \frac{4}{a^2+b^2}) = 0$

$b \ne 0$ なので、 $\frac{1}{4} - \frac{4}{a^2+b^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{a^2+b^2}$

$a^2 + b^2 = 16$

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16} = 4$

3. 最終的な答え

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