3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - b = 0$ が $1-3i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - b = 0$ が $1-3i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の性質：実数係数の多項式方程式が複素数解 $1-3i$ を持つとき、その共役複素数 $1+3i$ も解に持つ。

(2) 解と係数の関係：3次方程式の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、

$x^3 - 3x^2 + ax - b = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

より、

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

$\alpha\beta\gamma = b$

(3) 今回の方程式では、$\alpha = 1-3i, \beta = 1+3i$ である。もう一つの解を $\gamma = x$ とおく。

$\alpha + \beta + \gamma = (1-3i) + (1+3i) + x = 2 + x = 3$

よって、$x = 1$

(4) $a$ の計算：

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (1-3i)(1+3i) + (1+3i)(1) + (1)(1-3i)$

$= 1 - (3i)^2 + 1+3i + 1-3i = 1 - (-9) + 2 = 1 + 9 + 2 = 12$

よって、$a = 12$

(5) $b$ の計算：

$\alpha\beta\gamma = (1-3i)(1+3i)(1) = (1+9)(1) = 10$

よって、$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = 12$

$b = 10$

$x = 1$