3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ が $x=-2$ を重解としてもつとき、実数 $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ が $x=-2$ を重解としてもつとき、実数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x=-2$ が重解であることから、与えられた3次式は $(x+2)^2$ を因数に持ちます。

したがって、3次式は $(x+2)^2(x-\alpha)=0$ と表すことができます。ここで、$\alpha$ は実数です。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ であるため、

$(x^2+4x+4)(x-\alpha) = x^3 + 4x^2 + 4x - \alpha x^2 - 4\alpha x - 4\alpha = x^3 + (4-\alpha)x^2 + (4-4\alpha)x - 4\alpha = 0$

与えられた式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ と係数を比較すると、以下の関係が得られます。

$a = 4 - \alpha$

$b = 4 - 4\alpha$

$4 = -4\alpha$

最後の式から、$\alpha = -1$ が得られます。

これを $a, b$ の式に代入すると、

$a = 4 - (-1) = 5$

$b = 4 - 4(-1) = 4 + 4 = 8$

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 8$