放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ の頂点Pについて、以下の問いに答えます。 (1) x軸に関して点Pと対称な点Qの座標を求めます。 (2) この放物線とx軸に関して対称な放物線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題9から問題14を解きます。

**問題9**

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ の頂点Pについて、以下の問いに答えます。

(1) x軸に関して点Pと対称な点Qの座標を求めます。

(2) この放物線とx軸に関して対称な放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ の頂点Pの座標を求めます。平方完成を行うと、

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

よって、頂点Pの座標は(1, 3)です。x軸に関して点Pと対称な点Qの座標は、x座標は変わらず、y座標の符号が変わるので、Q(1, -3)となります。

(2) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ とx軸に関して対称な放物線の方程式は、$y$を$-y$に置き換えることで得られます。

$-y = 2x^2 - 4x + 5$

$y = -2x^2 + 4x - 5$

3. 最終的な答え

(1) 点Qの座標: (1, -3)

(2) 対称な放物線の方程式: $y = -2x^2 + 4x - 5$

**問題10**

1. 問題の内容

1次関数 $y = -2x + 10$ のグラフが、x軸、y軸と交わる点をそれぞれA, Bとします。点P(x, y)が線分AB上を動くとき、以下の問いに答えます。

(1) $OP^2$を$x$で表します。

(2) 線分$OP$の長さの最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A, Bの座標を求めます。

x軸との交点A: $y = 0$ より、$-2x + 10 = 0$ なので $x = 5$。したがってA(5, 0)。

y軸との交点B: $x = 0$ より、$y = 10$。したがってB(0, 10)。

点P(x, y)は線分AB上にあるので、$y = -2x + 10$ が成り立ちます。

$OP^2 = x^2 + y^2$ に $y = -2x + 10$ を代入すると、

$OP^2 = x^2 + (-2x + 10)^2$

$OP^2 = x^2 + (4x^2 - 40x + 100)$

$OP^2 = 5x^2 - 40x + 100$

(2) $OP^2$ の最小値を求めます。$OP^2 = 5x^2 - 40x + 100$ を平方完成します。

$OP^2 = 5(x^2 - 8x) + 100$

$OP^2 = 5(x^2 - 8x + 16 - 16) + 100$

$OP^2 = 5((x - 4)^2 - 16) + 100$

$OP^2 = 5(x - 4)^2 - 80 + 100$

$OP^2 = 5(x - 4)^2 + 20$

$OP^2$の最小値は$x = 4$のとき20です。ここで、点Pが線分AB上にある条件を確認します。

$x = 4$のとき、$y = -2(4) + 10 = 2$。

点P(4, 2)は線分AB上にあります（$0 \le x \le 5$ かつ $0 \le y \le 10$を満たす）。

したがって、$OP = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ が最小値です。

3. 最終的な答え

(1) $OP^2 = 5x^2 - 40x + 100$

(2) $OP$ の最小値: $2\sqrt{5}$

**問題11**

1. 問題の内容

$a$は定数とします。関数 $y = x^2 - 4x$ ($a \le x \le a+2$) について、以下の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ であるから、この関数のグラフは下に凸の放物線で、軸は $x = 2$ である。

定義域 $a \le x \le a+2$ における最小値を考える。

(i) $a + 2 < 2$ すなわち $a < 0$ のとき、最小値は $x = a+2$ で $y = (a+2)^2 - 4(a+2) = a^2 + 4a + 4 - 4a - 8 = a^2 - 4$

(ii) $a \le 2 \le a+2$ すなわち $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $x = 2$ で $y = -4$

(iii) $a > 2$ のとき、最小値は $x = a$ で $y = a^2 - 4a$

(2) 定義域 $a \le x \le a+2$ における最大値を考える。

(i) $a+2 < 2$ すなわち $a < 0$ のとき、最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 4a$

(ii) $a > 2$ のとき、最大値は $x = a+2$ で $y = (a+2)^2 - 4(a+2) = a^2 - 4$

(iii) $a \le 2 \le a + 2$ すなわち $0 \le a \le 2$ のとき、

$2 - a < a + 2 - 2$ すなわち $a > 0$ のとき、最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 4a$

$2 - a > a + 2 - 2$ すなわち $a < 0$ のとき、最大値は $x = a+2$ で $y = a^2 - 4$

$a = 0$ のとき、最大値は $x = 0$ および $x = 2$ で $y = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値:

* $a < 0$ のとき $a^2 - 4$

* $0 \le a \le 2$ のとき $-4$

* $a > 2$ のとき $a^2 - 4a$

(2) 最大値:

* $a < 0$ のとき $a^2 - 4a$

* $a > 2$ のとき $a^2 - 4$

**問題12**

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + m(1-m)$ について、$0 \le x \le 3$ の範囲で$y$の値が常に負となるように、定数$m$の値の範囲を定めよ。

2. 解き方の手順

$y = f(x) = x^2 - 2x + m(1-m)$とする。

$f(x) = (x-1)^2 -1 + m - m^2$

$0 \le x \le 3$ において、$f(x) < 0$ となる条件を考える。

$f(x)$ の最小値が負であればよい。

軸 $x = 1$ は $0 \le x \le 3$ に含まれるので、最小値は $f(1) = -1 + m - m^2$

$-1 + m - m^2 < 0$

$m^2 - m + 1 > 0$

$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}$ なので、すべての実数$m$について、$m^2 - m + 1 > 0$

$f(0) = m(1-m) < 0$ から、$m < 0$ または $m > 1$

$f(3) = 9 - 6 + m(1-m) = 3 + m - m^2 < 0$

$m^2 - m - 3 > 0$

$m = \frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

$y$の値が常に負となるためには、 $m < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ または $m > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$が必要である。

3. 最終的な答え

$m < \frac{1-\sqrt{13}}{2}, m > \frac{1+\sqrt{13}}{2}$

**問題13**

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m - \frac{1}{2}$ のグラフは、定数$m$の値に関係なく常に$x$軸と共有点をもつことを示せ。

2. 解き方の手順

$y = x^2 - 2mx + m - \frac{1}{2}$

判別式 $D = (-2m)^2 - 4(1)(m - \frac{1}{2}) = 4m^2 - 4m + 2 = 4(m^2 - m + \frac{1}{4}) - 4 \times \frac{1}{4} + 2 = 4(m - \frac{1}{2})^2 - 1 + 2 = 4(m - \frac{1}{2})^2 + 1$

$D > 0$ であるから、定数$m$の値に関係なく常に$x$軸と共有点をもつ。

3. 最終的な答え

$D>0$であるから、題意は示された。

**問題14**

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 12 = 0$ が、次のような実数解をもつように、定数$m$の値の範囲を定めよ。

(1) 異なる2つの正の解

(2) 異なる2つの負の解

(3) 正の解と負の解

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 12$

判別式を $D$ とする。$D/4 = m^2 - (m + 12) = m^2 - m - 12 = (m - 4)(m + 3)$

(1) 異なる2つの正の解

$D > 0$ より、$(m - 4)(m + 3) > 0$ なので、$m < -3$ または $m > 4$

軸 $x = m > 0$ より、$m > 0$

$f(0) = m + 12 > 0$ より、$m > -12$

以上より、$m > 4$

(2) 異なる2つの負の解

$D > 0$ より、$m < -3$ または $m > 4$

軸 $x = m < 0$ より、$m < 0$

$f(0) = m + 12 > 0$ より、$m > -12$

以上より、$-12 < m < -3$

(3) 正の解と負の解

$f(0) = m + 12 < 0$

$m < -12$

3. 最終的な答え

(1) $m > 4$

(2) $-12 < m < -3$

(3) $m < -12$