2つの2次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下が成り立つ。

$\alpha^2 + k\alpha + 1 = 0$ (1)

$\alpha^2 + \alpha + k = 0$ (2)

(1) - (2) より、

$(k-1)\alpha + (1-k) = 0$

$(k-1)\alpha - (k-1) = 0$

$(k-1)(\alpha - 1) = 0$

よって、$k = 1$ または $\alpha = 1$

(i) $k = 1$ のとき

2つの2次方程式は $x^2 + x + 1 = 0$ となる。

この判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ であるため、実数解を持たない。

したがって、$k = 1$ は不適。

(ii) $\alpha = 1$ のとき

共通解が $x=1$ なので、(1)に代入して

$1^2 + k(1) + 1 = 0$

$1 + k + 1 = 0$

$k = -2$

このとき、2つの2次方程式は

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

となる。

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ より $x = 1$ (重解)

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = 0$ より $x = 1, -2$

したがって、共通解は $x=1$ である。

3. 最終的な答え

$k = -2$

共通解 $x = 1$