2つの2次方程式 $x^2 + (k+1)x - 4 = 0$ と $x^2 + 3x - 2k = 0$ が共通な実数解を持つように、定数 $k$ の値を定め、その共通解を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + (k+1)x - 4 = 0$ と $x^2 + 3x - 2k = 0$ が共通な実数解を持つように、定数 $k$ の値を定め、その共通解を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$\alpha^2 + (k+1)\alpha - 4 = 0$ ...(1)

$\alpha^2 + 3\alpha - 2k = 0$ ...(2)

(1) - (2) より、

$(k+1)\alpha - 3\alpha - 4 + 2k = 0$

$(k-2)\alpha + 2(k-2) = 0$

$(k-2)(\alpha + 2) = 0$

よって、

$k = 2$ または $\alpha = -2$

(i) $k = 2$ のとき

2つの2次方程式は、

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

となり、一致する。

$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

共通解は $x = -4, 1$

(ii) $\alpha = -2$ のとき

(1)に代入すると

$(-2)^2 + (k+1)(-2) - 4 = 0$

$4 - 2k - 2 - 4 = 0$

$-2k - 2 = 0$

$k = -1$

このとき、2つの2次方程式は、

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) = 0$

共通解は $x = -2$

以上より、

$k = 2$ のとき、共通解は $x = -4, 1$

$k = -1$ のとき、共通解は $x = -2$

3. 最終的な答え

$k = 2$ のとき、共通解は $x = -4, 1$

$k = -1$ のとき、共通解は $x = -2$