与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できません。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できません。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて、行列を上三角行列に変形します。行基本変形を行う際は、どの操作を行ったかを明記します。

1. 2行目を（2行目 - 2 * 1行目）で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

操作: ② - ① × 2

2. 3行目を（3行目 + 1行目）で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

操作: ③ + ①

3. 4行目を（4行目 - 3 * 1行目）で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

操作: ④ - ① × 3

4. 3行目を（3行目 - 5 * 2行目）で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

操作: ③ - ② × 5

5. 4行目を（4行目 - 2 * 2行目）で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$$

操作: ④ - ② × 2

6. 4行目を(4行目 - (4/19) * 3行目) で置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + (4/19)*12

\end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{vmatrix}

$$

操作: ④ - ③ × (4/19)

これで上三角行列になったので、対角成分の積を計算します。

行列式は $1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28$ です。

3. 最終的な答え

28