与えられた4x4の行列式 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $ を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算する。サラスの方法は用いない。また、基本変形の過程を記述する。

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算する。サラスの方法は用いない。また、基本変形の過程を記述する。

2. 解き方の手順

まず、行列式を以下のように書き下す。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

1行目を基準に、2行目から2倍、3行目に1倍、4行目から3倍を引く（行基本変形）。

* 2行目 - 2 * 1行目

* 3行目 + 1 * 1行目

* 4行目 - 3 * 1行目

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

2行目を基準に、3行目から5倍、4行目から2倍を引く（行基本変形）。

* 3行目 - 5 * 2行目

* 4行目 - 2 * 2行目

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$$

3行目を基準に、4行目から-4/-19倍を引く（行基本変形）。

* 4行目 - (-4/19) * 3行目 = 4行目 + (4/19) * 3行目

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + (4/19) * (-12)

\end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - 48/19

\end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -76/19 - 48/19

\end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -124/19

\end{vmatrix}

$$

これで三角行列になったので、対角成分を掛ける。

$$

1 * 1 * (-19) * (-124/19) = 124

$$

3. 最終的な答え

124