与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算する問題です。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛けることで計算する問題です。与えられた行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

以下の手順で行列式を計算します。

ステップ1: 1行目を基準に、2, 3, 4行目の1列目の成分を0にする。

* 2行目を ($2$行目 - $2 \times 1$行目) で置き換える (R2 -> R2 - 2R1)。

* 3行目を ($3$行目 + $1$行目) で置き換える (R3 -> R3 + R1)。

* 4行目を ($4$行目 - $3 \times 1$行目) で置き換える (R4 -> R4 - 3R1)。

得られる行列は以下の通り。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

ステップ2: 2行目を基準に、3, 4行目の2列目の成分を0にする。

* 3行目を ($3$行目 - $5 \times 2$行目) で置き換える (R3 -> R3 - 5R2)。

* 4行目を ($4$行目 - $2 \times 2$行目) で置き換える (R4 -> R4 - 2R2)。

得られる行列は以下の通り。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}

$$

ステップ3: 3行目を基準に、4行目の3列目の成分を0にする。

* 4行目を ($4$行目 - $4/19 \times 3$行目) で置き換える (R4 -> R4 - (4/19)R3)。

得られる行列は以下の通り。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{pmatrix}

$$

ステップ4: 行列式を計算する。

三角行列なので、対角成分の積が行列式になる。

$1 \times 1 \times (-19) \times (-28/19) = 28$

3. 最終的な答え

28