与えられた3x3の行列式 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{vmatrix} $ を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの方法は使用不可。どのような基本変形をしたか説明を加える。

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{vmatrix}$

を、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの方法は使用不可。どのような基本変形をしたか説明を加える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列式を以下のように書く。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 \end{vmatrix}$

(1) 第2行に第1行を足す（第2行 + 第1行）：

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 3 & 14 & 1 \end{vmatrix}$

(2) 第3行から第1行の3倍を引く（第3行 - 第1行×3）：

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

(3) 第3行から第2行の1/3倍を引く（第3行 - 第2行×(1/3)）：

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 4 - \frac{2}{3} \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & \frac{10}{3} \end{vmatrix}$

得られた行列は三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できる。

$1 \times 6 \times \frac{10}{3} = 20$

3. 最終的な答え

20