(1) $(1+2i)x + (1-3i)y = -1 + 13i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める。 (2) 次の複素数の計算をする。 (ア) $(1-2i)^2$ (イ) $\frac{1-i}{2-i} + \frac{1+i}{2+i}$ (ウ) $\sqrt{-63} + \sqrt{-28} - \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{-6}}$

1. 問題の内容

(1) $(1+2i)x + (1-3i)y = -1 + 13i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める。

(2) 次の複素数の計算をする。

(ア) $(1-2i)^2$

(イ) $\frac{1-i}{2-i} + \frac{1+i}{2+i}$

(ウ) $\sqrt{-63} + \sqrt{-28} - \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{-6}}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた方程式を展開します。

$x + 2xi + y - 3yi = -1 + 13i$

実部と虚部に分けて整理します。

$(x+y) + (2x-3y)i = -1 + 13i$

実部と虚部がそれぞれ等しくなるように、次の連立方程式を立てます。

$x + y = -1$

$2x - 3y = 13$

一つ目の式から、$y = -1 - x$ を得ます。これを二つ目の式に代入します。

$2x - 3(-1-x) = 13$

$2x + 3 + 3x = 13$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = -1 - x = -1 - 2 = -3$

したがって、$x = 2, y = -3$ です。

(2ア)

$(1-2i)^2 = (1-2i)(1-2i) = 1 - 2i - 2i + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

(2イ)

$\frac{1-i}{2-i} + \frac{1+i}{2+i}$

通分します。

$\frac{(1-i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} + \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

$\frac{2 + i - 2i - i^2}{4 - i^2} + \frac{2 - i + 2i - i^2}{4 - i^2}$

$\frac{2 - i + 1}{4 + 1} + \frac{2 + i + 1}{4 + 1}$

$\frac{3 - i}{5} + \frac{3 + i}{5}$

$\frac{3 - i + 3 + i}{5} = \frac{6}{5}$

(2ウ)

$\sqrt{-63} + \sqrt{-28} - \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{-6}}$

$\sqrt{63}i + \sqrt{28}i - \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}i}$

$3\sqrt{7}i + 2\sqrt{7}i - \frac{\sqrt{7}}{i}$

$5\sqrt{7}i - \frac{\sqrt{7}}{i}$

$5\sqrt{7}i - \frac{\sqrt{7}i}{i^2}$

$5\sqrt{7}i - \frac{\sqrt{7}i}{-1}$

$5\sqrt{7}i + \sqrt{7}i = 6\sqrt{7}i$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$, $y = -3$

(2ア) $-3 - 4i$

(2イ) $\frac{6}{5}$

(2ウ) $6\sqrt{7}i$