与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できません。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できません。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を上三角行列に変形します。行基本変形を行う際に、どのような操作を行ったかを明記します。

1. 2行目を(2行目) - 2 * (1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 3行目を(3行目) + (1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

3. 4行目を(4行目) - 3 * (1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

4. 3行目を(3行目) - 5 * (2行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

5. 4行目を(4行目) - 2 * (2行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}

$$

6. 4行目を(4行目) - (4/19) * (3行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + (4/19) * 12

\end{pmatrix}

$$

$$

=

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + 48/19

\end{pmatrix}

$$

$$

=

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & (-76 + 48)/19

\end{pmatrix}

$$

$$

=

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{pmatrix}

$$

この行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積になります。

$$

det = 1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28

$$

3. 最終的な答え

28