与えられた数式 $\frac{x-\frac{12}{x+1}}{x-1-\frac{8}{x+1}}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{x-\frac{12}{x+1}}{x-1-\frac{8}{x+1}}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ簡略化します。

分子：

$x - \frac{12}{x+1} = \frac{x(x+1) - 12}{x+1} = \frac{x^2 + x - 12}{x+1} = \frac{(x+4)(x-3)}{x+1}$

分母：

$x - 1 - \frac{8}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) - 8}{x+1} = \frac{x^2 - 1 - 8}{x+1} = \frac{x^2 - 9}{x+1} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{x-\frac{12}{x+1}}{x-1-\frac{8}{x+1}} = \frac{\frac{(x+4)(x-3)}{x+1}}{\frac{(x+3)(x-3)}{x+1}} = \frac{(x+4)(x-3)}{x+1} \cdot \frac{x+1}{(x+3)(x-3)}$

$(x+1)$と$(x-3)$を分子と分母からキャンセルします。ただし、$x \neq -1$ かつ $x \neq 3$ である必要があります。

$\frac{(x+4)(x-3)}{x+1} \cdot \frac{x+1}{(x+3)(x-3)} = \frac{x+4}{x+3}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+4}{x+3}$