$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

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2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。

**行列 A の逆行列:**

1. Aと単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 行基本変形を行って、左側を単位行列になるように変形します。

- 1行目を-1倍: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 3行目から1行目を引く: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 2行目を-1倍: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 3行目から2行目を引く: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

- 1行目に3行目を足す: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

- 2行目に3行目を足す: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

**行列 B の逆行列:**

1. Bと単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 行基本変形を行って、左側を単位行列になるように変形します。

- 1行目を1/2倍： $\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 2行目から1行目の2倍を引く： $\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 1行目から2行目の1/2倍を引く： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- 3行目から2行目を引く： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

- 3行目を-1倍： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

- 1行目に3行目の3/2倍を足す： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

- 2行目から3行目の3倍を引く： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

**行列 C の逆行列:**

1. Cは上三角行列なので、対角成分の逆数を計算するだけです。

2. Cの逆行列は以下のようになります。

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

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3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3/2 \\ 2 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$