## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は、画像の章末問題Aの以下の問題です。

* 1: 放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

* 2: 次の2つの放物線の頂点が一致するとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。 $y = 2x^2 + 4x$, $y = x^2 + ax + b$

* 3: $x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ の最小値を $k$ とする。

(1) $k$ を $m$ の式で表せ。

(2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めよ。

* 4: 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが右の図のようになるとき、次の値の符号を求めよ。

(1) $a$ (2) $c$ (3) $-\frac{b}{2a}$ (4) $b$ (5) $b^2 - 4ac$ (6) $a + b + c$

* 5: 2次不等式 $ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ となるように、定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

* 6: $a$ は定数とする。2次不等式 $x^2 - ax - 2a^2 < 0$ を次の場合について解け。

(1) $a > 0$ のとき (2) $a < 0$ のとき

* 7: 次の2つの方程式がともに実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 $x^2 + (a + 1)x + a^2 = 0$, $x^2 + 2ax + 2a = 0$

* 8: 2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正であるように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

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2. 解き方の手順

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1. 放物線の方程式を求める**

* 平行移動した放物線の方程式は、$y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ と表せる。

* 2点 $(-2, 0)$ と $(1, 12)$ を通るから、それぞれ代入して $p$ と $q$ に関する連立方程式を立てる。

* 連立方程式を解いて、$p$ と $q$ の値を求める。

* 求めた $p$ と $q$ の値を代入して、放物線の方程式を求める。

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2. 頂点が一致する放物線を求める**

* $y = 2x^2 + 4x$ を平方完成する。$y = 2(x+1)^2 - 2$ なので、頂点は $(-1, -2)$.

* $y = x^2 + ax + b$ を平方完成する。$y = (x+\frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$ なので、頂点は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$.

* 頂点が一致するので、$-\frac{a}{2} = -1$ かつ $-\frac{a^2}{4} + b = -2$ となる。

* 上記の連立方程式を解いて、$a$ と $b$ の値を求める。

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3. 2次関数の最小値**

* $y = x^2 - mx + m$ を平方完成する。$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

* 最小値 $k$ は $k = -\frac{m^2}{4} + m$

* (1) $k$ を $m$ の式で表すと、$k = -\frac{m^2}{4} + m$。

* (2) $k$ を最大にする $m$ を求めるために、$k$ を平方完成する。 $k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) = -\frac{1}{4}(m-2)^2 + 1$。 よって、$m=2$ のとき $k$ は最大値 $1$ をとる。

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4. グラフの符号**

* $y = ax^2 + bx + c$ のグラフから、上に凸なので $a < 0$

* $y$ 切片は正なので $c > 0$

* 軸の位置は $x > 0$ の範囲にあるので、$-\frac{b}{2a} > 0$

* $a < 0$ なので、$b > 0$

* グラフは $x$ 軸と交わるので、$b^2 - 4ac > 0$

* $x = 1$ のとき、$y > 0$。 $x = 2$ のとき、$y = 0$ 。よって、$a+b+c$ の符号は、不明。

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5. 2次不等式**

* $ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であることから、$ax^2 + bx + 4 = 0$ の解が $x = -1, 2$ である。

* 解と係数の関係より、$-1 + 2 = -\frac{b}{a}$, $(-1) \times 2 = \frac{4}{a}$

* $-2 = \frac{4}{a}$ より $a = -2$

* $1 = -\frac{b}{a} = -\frac{b}{-2}$ より $b = 2$

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6. 2次不等式を解く**

* $x^2 - ax - 2a^2 < 0$ を因数分解する。 $(x-2a)(x+a) < 0$

* (1) $a > 0$ のとき、$-a < x < 2a$

* (2) $a < 0$ のとき、$2a < x < -a$

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7. 2つの方程式が実数解を持つ条件**

* $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (a+1)^2 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 \ge 0$。 $3a^2 - 2a - 1 \le 0$ より $(3a+1)(a-1) \le 0$。 よって、$-\frac{1}{3} \le a \le 1$

* $x^2 + 2ax + 2a = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = (2a)^2 - 4(2a) = 4a^2 - 8a \ge 0$。 $a^2 - 2a \ge 0$ より $a(a-2) \ge 0$。 よって、$a \le 0$ または $a \ge 2$

* 両方の条件を満たす $a$ の範囲は、$-\frac{1}{3} \le a \le 0$

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8. yが常に正である条件**

* $y = x^2 - 2ax + a$ が常に正であるためには、$x^2 - 2ax + a = 0$ が実数解を持たない必要がある。

* 判別式 $D = (-2a)^2 - 4a = 4a^2 - 4a < 0$。 $a^2 - a < 0$ より $a(a-1) < 0$。 よって、$0 < a < 1$

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3. 最終的な答え

1. 放物線の方程式: $y = -2(x + \frac{1}{2})^2 + 3(x + \frac{1}{2}) + 1 + \frac{45}{8}$, 計算すると $y=-2x^2 + 3x + \frac{45}{8} - \frac{3}{2} +1 = -2x^2 + 3x + \frac{37}{8}$

2. $a = 2$, $b = 2$

3. (1) $k = -\frac{m^2}{4} + m$ (2) $m = 2$, $k = 1$

4. (1) $a < 0$ (2) $c > 0$ (3) $-\frac{b}{2a} > 0$ (4) $b > 0$ (5) $b^2 - 4ac > 0$ (6) 不明

5. $a = -2$, $b = 2$

6. (1) $a > 0$ のとき、$-a < x < 2a$ (2) $a < 0$ のとき、$2a < x < -a$

7. $-\frac{1}{3} \le a \le 0$

8. $0 < a < 1$