与えられた3つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。 (1) $y = -(x+3)^2 + 2$ (2) $y = -x^2 - x - 3$ (3) $y = -2x^2 - 12x - 17$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

(1) $y = -(x+3)^2 + 2$

(2) $y = -x^2 - x - 3$

(3) $y = -2x^2 - 12x - 17$

2. 解き方の手順

(1) $y = -(x+3)^2 + 2$

この関数は平方完成された形になっています。$y = -a(x-p)^2 + q$ の形であり、$a > 0$ ならば上に凸のグラフなので、最大値を持ちます。$a < 0$ ならば下に凸のグラフなので、最小値を持ちます。

この場合、$a = 1$ なので、上に凸のグラフです。したがって、最大値を持つことになります。最大値は、$x = -3$ のとき $y = 2$ となります。最小値はありません。

(2) $y = -x^2 - x - 3$

この関数を平方完成します。

$y = -(x^2 + x) - 3$

$y = -(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 3$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} - 3$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{4}$

この関数は、$a = 1$ なので、上に凸のグラフです。したがって、最大値を持つことになります。最大値は、$x = -\frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{11}{4}$ となります。最小値はありません。

(3) $y = -2x^2 - 12x - 17$

この関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 6x) - 17$

$y = -2(x^2 + 6x + 9 - 9) - 17$

$y = -2(x + 3)^2 + 18 - 17$

$y = -2(x + 3)^2 + 1$

この関数は、$a = 2$ なので、上に凸のグラフです。したがって、最大値を持つことになります。最大値は、$x = -3$ のとき $y = 1$ となります。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 (x = -3 のとき), 最小値: なし

(2) 最大値: -11/4 (x = -1/2 のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: 1 (x = -3 のとき), 最小値: なし