2つの2次方程式 $x^2 + px + 1 = 0$ (①) と $x^2 + px + p = 0$ (②) が与えられている。以下の条件を満たすような定数 $p$ の値の範囲を求める。 (1) ①が実数解をもつ (2) ②が実数解をもつ (3) ①, ②がともに実数解をもつ (4) ①, ②のうち、少なくとも一方が実数解をもつ

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + px + 1 = 0$ (①) と $x^2 + px + p = 0$ (②) が与えられている。以下の条件を満たすような定数 $p$ の値の範囲を求める。

(1) ①が実数解をもつ

(2) ②が実数解をもつ

(3) ①, ②がともに実数解をもつ

(4) ①, ②のうち、少なくとも一方が実数解をもつ

2. 解き方の手順

(1) ①が実数解をもつ条件

①の判別式を $D_1$ とすると、実数解をもつ条件は $D_1 \ge 0$ である。

$D_1 = p^2 - 4(1)(1) = p^2 - 4 \ge 0$

$(p-2)(p+2) \ge 0$

よって、$p \le -2$ または $p \ge 2$。

(2) ②が実数解をもつ条件

②の判別式を $D_2$ とすると、実数解をもつ条件は $D_2 \ge 0$ である。

$D_2 = p^2 - 4(1)(p) = p^2 - 4p \ge 0$

$p(p-4) \ge 0$

よって、$p \le 0$ または $p \ge 4$。

(3) ①, ②がともに実数解をもつ条件

①, ②がともに実数解をもつのは、(1)と(2)の両方を満たすときである。

$p \le -2$ または $p \ge 2$ かつ $p \le 0$ または $p \ge 4$

したがって、$p \le -2$ または $p \ge 4$。

(4) ①, ②のうち、少なくとも一方が実数解をもつ条件

①, ②のうち、少なくとも一方が実数解をもつのは、(1)または(2)を満たすときである。

$p \le -2$ または $p \ge 2$ または $p \le 0$ または $p \ge 4$

したがって、$p \le 0$ または $p \ge 2$。

3. 最終的な答え

(1) $p \le -2$ または $p \ge 2$

(2) $p \le 0$ または $p \ge 4$

(3) $p \le -2$ または $p \ge 4$

(4) $p \le 0$ または $p \ge 2$