複素数平面において、点 $z$ が点 $1$ を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、$w = \frac{1}{z}$ で表される点 $w$ がどのような図形を描くか求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ が点 $1$ を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、$w = \frac{1}{z}$ で表される点 $w$ がどのような図形を描くか求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z$ は実軸に垂直な直線上を動くので、$z = 1 + yi$（$y$ は実数）と表せます。次に、$w = \frac{1}{z}$ を変形して $z = \frac{1}{w}$ となります。

$z = 1 + yi$ を $z = \frac{1}{w}$ に代入すると、

$$\frac{1}{w} = 1 + yi$$

$w = x + yi$ とおくと、

$$\frac{1}{x + yi} = 1 + yi$$

$$\frac{x - yi}{x^2 + y^2} = 1 + yi$$

実部と虚部を比較すると、

$$\frac{x}{x^2 + y^2} = 1$$

$$\frac{-y}{x^2 + y^2} = y$$

一つ目の式から、$x = x^2 + y^2$ が得られます。これを変形すると、

$$x^2 - x + y^2 = 0$$

$$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2$$

これは中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円を表します。

ただし、$y = 0$ のとき、$\frac{-y}{x^2 + y^2} = 0$ となり、$y = 0$ と矛盾するので、$w = 1$ は除きます。

3. 最終的な答え

点 $w$ は、中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円周（ただし、$w = 1$ を除く）を描く。