次の2次関数の最大値、最小値を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 4$ (2) $y = x^2 - 4x + 5$ (3) $y = 2x^2 + 20x + 47$

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値、最小値を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 4$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$

(3) $y = 2x^2 + 20x + 47$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式は平方完成された形なので、すぐに頂点が分かります。

$y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 4$

この関数のグラフは下に凸であり、頂点は $(1, 4)$ です。したがって、最小値は $x=1$ のとき $y=4$ となります。最大値はありません。

(2)

平方完成を行います。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 5 - 4 = (x - 2)^2 + 1$

この関数のグラフは下に凸であり、頂点は $(2, 1)$ です。したがって、最小値は $x=2$ のとき $y=1$ となります。最大値はありません。

(3)

平方完成を行います。

$y = 2x^2 + 20x + 47 = 2(x^2 + 10x) + 47 = 2(x^2 + 10x + 25) + 47 - 2(25) = 2(x + 5)^2 + 47 - 50 = 2(x + 5)^2 - 3$

この関数のグラフは下に凸であり、頂点は $(-5, -3)$ です。したがって、最小値は $x=-5$ のとき $y=-3$ となります。最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $4$ ($x=1$のとき), 最大値: なし

(2) 最小値: $1$ ($x=2$のとき), 最大値: なし

(3) 最小値: $-3$ ($x=-5$のとき), 最大値: なし