数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2n + \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{2}$ である。 また、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$b_1 + b_2 = 6$, $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = 8$ を満たしている。 (1) $a_1, a_2, a_3$ をそれぞれ求めよ。 (2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = 2n + \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{2}$ である。

また、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$b_1 + b_2 = 6$, $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = 8$ を満たしている。

(1) $a_1, a_2, a_3$ をそれぞれ求めよ。

(2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, a_2, a_3$ を求める。

$a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = 2(1) + \frac{(-1)^1}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$

$a_2 = S_2 - S_1$ なので、

$S_2 = 2(2) + \frac{(-1)^2}{2} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 4$

$a_2 = S_2 - S_1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = S_3 - S_2$ なので、

$S_3 = 2(3) + \frac{(-1)^3}{2} - \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5$

$a_3 = S_3 - S_2 = 5 - 4 = 1$

(2) $b_n$ を求める。

数列 $\{b_n\}$ は公比 $r$ が正の等比数列であるから、$b_n = b_1 r^{n-1}$ と表せる。

$b_1 + b_2 = 6$ より、$b_1 + b_1r = b_1(1+r) = 6$ …(1)

$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = 8$ より、$\frac{b_1}{1-r} = 8$ …(2)

(1)より、$b_1 = \frac{6}{1+r}$

(2)に代入して、$\frac{\frac{6}{1+r}}{1-r} = 8$

$\frac{6}{(1+r)(1-r)} = 8$

$6 = 8(1-r^2)$

$3 = 4(1-r^2)$

$3 = 4 - 4r^2$

$4r^2 = 1$

$r^2 = \frac{1}{4}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

公比が正であるから $r = \frac{1}{2}$

(1)より、$b_1(1+\frac{1}{2}) = 6$

$b_1(\frac{3}{2}) = 6$

$b_1 = 4$

したがって、$b_n = 4 (\frac{1}{2})^{n-1} = 4 \cdot 2^{-(n-1)} = 2^2 \cdot 2^{1-n} = 2^{3-n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 1$

(2) $b_n = 2^{3-n}$