与えられた行列 $A$, $B$, ベクトル $p$ に対して、以下の計算を行い、結果を求める。 (1) $AB$ (2) ${}^tAA$ (3) $Ap$ (4) ${}^tpBp$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, ベクトル $p$ に対して、以下の計算を行い、結果を求める。

(1) $AB$

(2) ${}^tAA$

(3) $Ap$

(4) ${}^tpBp$

2. 解き方の手順

(1) $AB$の計算

行列$A$と$B$の積を計算する。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 0*3 + 2*0 & 1*(-2) + 0*5 + 2*(-1) & 1*0 + 0*(-3) + 2*1 \\ 0*2 + 3*3 + (-2)*0 & 0*(-2) + 3*5 + (-2)*(-1) & 0*0 + 3*(-3) + (-2)*1 \\ 4*2 + (-1)*3 + 1*0 & 4*(-2) + (-1)*5 + 1*(-1) & 4*0 + (-1)*(-3) + 1*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 9 & 17 & -11 \\ 5 & -14 & 4 \end{pmatrix}$

(2) ${}^tAA$の計算

行列$A$の転置行列${}^tA$を求め、${}^tAA$を計算する。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, ${}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

${}^tAA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1 + 0*0 + 4*4 & 1*0 + 0*3 + 4*(-1) & 1*2 + 0*(-2) + 4*1 \\ 0*1 + 3*0 + (-1)*4 & 0*0 + 3*3 + (-1)*(-1) & 0*2 + 3*(-2) + (-1)*1 \\ 2*1 + (-2)*0 + 1*4 & 2*0 + (-2)*3 + 1*(-1) & 2*2 + (-2)*(-2) + 1*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -4 & 6 \\ -4 & 10 & -7 \\ 6 & -7 & 9 \end{pmatrix}$

(3) $Ap$の計算

行列$A$とベクトル$p$の積を計算する。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $p = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$Ap = \begin{pmatrix} 1*4 + 0*(-1) + 2*2 \\ 0*4 + 3*(-1) + (-2)*2 \\ 4*4 + (-1)*(-1) + 1*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ 19 \end{pmatrix}$

(4) ${}^tpBp$の計算

ベクトル$p$の転置${}^tp$を求め、${}^tpBp$を計算する。

$p = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, ${}^tp = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$Bp = \begin{pmatrix} 2*4 + (-2)*(-1) + 0*2 \\ 3*4 + 5*(-1) + (-3)*2 \\ 0*4 + (-1)*(-1) + 1*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 12-5-6 \\ 0+1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

${}^tpBp = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 4*10 + (-1)*1 + 2*3 = 40 - 1 + 6 = 45$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 9 & 17 & -11 \\ 5 & -14 & 4 \end{pmatrix}$

(2) ${}^tAA = \begin{pmatrix} 17 & -4 & 6 \\ -4 & 10 & -7 \\ 6 & -7 & 9 \end{pmatrix}$

(3) $Ap = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ 19 \end{pmatrix}$

(4) ${}^tpBp = 45$