行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, およびベクトル $p = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が与えられています。 以下の行列またはベクトルを求めます。 (1) $AB$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, およびベクトル $p = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が与えられています。

以下の行列またはベクトルを求めます。

(1) $AB$

2. 解き方の手順

(1) $AB$ の計算:

行列 $A$ と $B$ の積を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 & 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 5 + (-2) \cdot (-1) & 0 \cdot 0 + 3 \cdot (-3) + (-2) \cdot 1 \\ 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 0 & 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 5 + 1 \cdot (-1) & 4 \cdot 0 + (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 + 0 + 0 & -2 + 0 - 2 & 0 + 0 + 2 \\ 0 + 9 + 0 & 0 + 15 + 2 & 0 - 9 - 2 \\ 8 - 3 + 0 & -8 - 5 - 1 & 0 + 3 + 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 9 & 17 & -11 \\ 5 & -14 & 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 9 & 17 & -11 \\ 5 & -14 & 4 \end{pmatrix}$