分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}}$ です。

代数学分数の有理化平方根式の展開

2025/6/18

1. 問題の内容

分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は

\frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}}

です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役複素数（共役な無理数）を分母と分子に掛けます。

分母

7 - 4\sqrt{3}

の共役な無理数は

7 + 4\sqrt{3}

です。

したがって、分母と分子に

7 + 4\sqrt{3}

を掛けます。

\frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}} \times \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{(7 + 4\sqrt{3})^2}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}

分子を展開します：

(7 + 4\sqrt{3})^2 = (7)^2 + 2(7)(4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 16(3) = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}

分母を展開します：

(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = (7)^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16(3) = 49 - 48 = 1

したがって、

\frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{97 + 56\sqrt{3}}{1} = 97 + 56\sqrt{3}

3. 最終的な答え

97 + 56\sqrt{3}

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