与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それを求める問題です。 (1) $y = 2x^2 + 4x + 1$ (2) $y = -x^2 + 2x + 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値があれば、それを求める問題です。

(1) $y = 2x^2 + 4x + 1$

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 + 4x + 1$ の場合：

平方完成を行います。まず、$x^2$の係数で括ります。

$y = 2(x^2 + 2x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成します。$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ であるから、$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$。

これを代入すると、

$y = 2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

この式から、頂点の座標は$(-1, -1)$であり、$x^2$の係数が正であるため、下に凸のグラフになります。したがって、最小値は $-1$ であり、最大値はありません。

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$ の場合：

平方完成を行います。まず、$x^2$の係数で括ります。

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成します。$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ であるから、$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$。

これを代入すると、

$y = -((x-1)^2 - 1) + 3$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 3$

$y = -(x-1)^2 + 4$

この式から、頂点の座標は$(1, 4)$であり、$x^2$の係数が負であるため、上に凸のグラフになります。したがって、最大値は $4$ であり、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$-1$、最大値：なし

(2) 最大値：$4$、最小値：なし