$x = \sqrt{6} - \sqrt{2}$, $y = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x^2 - 2xy + y^2$ (2) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6} - \sqrt{2}$, $y = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x^2 - 2xy + y^2$

(2) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2xy + y^2$ は $(x - y)^2$ と因数分解できます。まず $x - y$ を計算します。

$x - y = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$

したがって、

$(x - y)^2 = (-2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

(2) $x^2 - y^2$ は $(x + y)(x - y)$ と因数分解できます。

まず $x + y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$

$x - y = -2\sqrt{2}$ (上記(1)で計算済み)

したがって、

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (2\sqrt{6})(-2\sqrt{2}) = -4\sqrt{12} = -4 \times 2\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $-8\sqrt{3}$