実数 $k$ を用いて、$x$ についての2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ を考える。 (1) この2次方程式が虚数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。 (2) この2次方程式が虚数解 $\alpha$ を持ち、かつ $\alpha^4$ が実数となるような $k$ の値を全て求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を用いて、$x$ についての2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ を考える。

(1) この2次方程式が虚数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

(2) この2次方程式が虚数解 $\alpha$ を持ち、かつ $\alpha^4$ が実数となるような $k$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ が虚数解を持つためには、判別式 $D$ が負でなければならない。

$D = (-k)^2 - 4(1)(3k - 4) = k^2 - 12k + 16$

したがって、$k^2 - 12k + 16 < 0$ を解く。

解の公式より、$k = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$

したがって、$6 - 2\sqrt{5} < k < 6 + 2\sqrt{5}$

(2)

虚数解 $\alpha$ を持つとき、$\alpha = a + bi$ ($b \neq 0$, $a,b$ は実数) と表せる。

また、$\alpha$ が解ならば、その共役複素数 $\overline{\alpha} = a - bi$ も解である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \overline{\alpha} = k$

$\alpha \overline{\alpha} = 3k - 4$

$\alpha + \overline{\alpha} = (a + bi) + (a - bi) = 2a = k$

$\alpha \overline{\alpha} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = 3k - 4$

$a = \frac{k}{2}$ を $a^2 + b^2 = 3k - 4$ に代入すると、

$(\frac{k}{2})^2 + b^2 = 3k - 4$

$b^2 = 3k - 4 - \frac{k^2}{4}$

$b^2 = \frac{-k^2 + 12k - 16}{4}$

$\alpha^4$ が実数になるためには、$\alpha^2$ が実数か純虚数でなければならない。

$\alpha^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

$\alpha^2$ が実数のとき、$2ab = 0$ より、$a=0$ または $b=0$。

$b=0$ だと $\alpha$ が実数解になるので、$a = 0$。

$a = 0$ より、$k = 2a = 0$

$k=0$ のとき、$x^2 - 4 = 0$ より $x = \pm 2$。これは実数解なので条件を満たさない。

$\alpha^2$ が純虚数のとき、$a^2 - b^2 = 0$。

$a^2 = b^2$ より $(\frac{k}{2})^2 = \frac{-k^2 + 12k - 16}{4}$

$k^2 = -k^2 + 12k - 16$

$2k^2 - 12k + 16 = 0$

$k^2 - 6k + 8 = 0$

$(k - 2)(k - 4) = 0$

$k = 2, 4$

$k=2$ のとき、$x^2 - 2x + 2 = 0$ より $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$

$\alpha = 1 + i$ のとき $\alpha^4 = (2i)^2 = -4$ は実数。

$k=4$ のとき、$x^2 - 4x + 8 = 0$ より $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = 2 \pm 2i$

$\alpha = 2 + 2i$ のとき $\alpha^4 = (8i)^2 = -64$ は実数。

$k=2, 4$ は $6 - 2\sqrt{5} < k < 6 + 2\sqrt{5}$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $6 - 2\sqrt{5} < k < 6 + 2\sqrt{5}$

(2) $k = 2, 4$