初項が1、公比が5の等比数列$\{a_n\}$がある。この数列の初項から第n項までの和が$10^{100}$以上となる最小のnを求めよ。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$とする。

1. 問題の内容

初項が1、公比が5の等比数列$\{a_n\}$がある。この数列の初項から第n項までの和が$10^{100}$以上となる最小のnを求めよ。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$とする。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を用いる。初項$a$、公比$r$の等比数列の初項から第n項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

で表される。この問題の場合、$a=1$、$r=5$なので、

$S_n = \frac{5^n - 1}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

となる。

$S_n \ge 10^{100}$を満たす最小のnを求めるので、

$\frac{5^n - 1}{4} \ge 10^{100}$

$5^n - 1 \ge 4 \times 10^{100}$

$5^n \ge 4 \times 10^{100} + 1$

$5^n$は指数関数的に増加するので、$4 \times 10^{100} + 1 \approx 4 \times 10^{100}$と考えてよい。

したがって、$5^n \ge 4 \times 10^{100}$を解けば良い。両辺の常用対数をとると、

$log_{10}5^n \ge log_{10}(4 \times 10^{100})$

$nlog_{10}5 \ge log_{10}4 + log_{10}10^{100}$

$nlog_{10}5 \ge log_{10}2^2 + 100$

$nlog_{10}5 \ge 2log_{10}2 + 100$

ここで、$log_{10}5 = log_{10}(\frac{10}{2}) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - log_{10}2$なので、$log_{10}5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$となる。また、$log_{10}2 = 0.3010$なので、$2log_{10}2 = 0.6020$となる。

したがって、

$0.6990n \ge 0.6020 + 100$

$0.6990n \ge 100.6020$

$n \ge \frac{100.6020}{0.6990} \approx 143.92$

nは整数なので、最小のnは144となる。

3. 最終的な答え

144