与えられた等式 $3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺と右辺をそれぞれ展開し、整理します。

左辺:

$3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$

$= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

右辺:

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

$= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

左辺と右辺を比較します。

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

左辺と右辺が一致するので、与えられた等式は成立します。

3. 最終的な答え

与えられた等式 $3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ は成立する。