問題18：次の2数を解とする2次方程式を1つ求めよ。 (1) -2, 3 (2) 1+$\sqrt{2}$, 1-$\sqrt{2}$ (3) 2+3i, 2-3i 問題19：2次方程式 $x^2+3x-2=0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ求めよ。 (1) $\alpha$-1, $\beta$-1 (2) $\frac{1}{\alpha}$, $\frac{1}{\beta}$ (3) $\alpha^2$, $\beta^2$

1. 問題の内容

問題18：次の2数を解とする2次方程式を1つ求めよ。

(1) -2, 3

(2) 1+$\sqrt{2}$, 1-$\sqrt{2}$

(3) 2+3i, 2-3i

問題19：2次方程式 $x^2+3x-2=0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ求めよ。

(1) $\alpha$-1, $\beta$-1

(2) $\frac{1}{\alpha}$, $\frac{1}{\beta}$

(3) $\alpha^2$, $\beta^2$

2. 解き方の手順

問題18：

2つの解を$\gamma$と$\delta$とすると、求める2次方程式は

$(x-\gamma)(x-\delta) = 0$

すなわち

$x^2 - (\gamma+\delta)x + \gamma\delta = 0$

となる。

(1) $\gamma = -2$, $\delta = 3$のとき、

$\gamma + \delta = -2+3 = 1$

$\gamma\delta = -2 \cdot 3 = -6$

よって、求める2次方程式は $x^2 - x - 6 = 0$

(2) $\gamma = 1+\sqrt{2}$, $\delta = 1-\sqrt{2}$のとき、

$\gamma + \delta = (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2}) = 2$

$\gamma\delta = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1 - 2 = -1$

よって、求める2次方程式は $x^2 - 2x - 1 = 0$

(3) $\gamma = 2+3i$, $\delta = 2-3i$のとき、

$\gamma + \delta = (2+3i)+(2-3i) = 4$

$\gamma\delta = (2+3i)(2-3i) = 4 - (9i^2) = 4 - (-9) = 13$

よって、求める2次方程式は $x^2 - 4x + 13 = 0$

問題19：

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -3$

$\alpha\beta = -2$

(1) $\gamma = \alpha-1$, $\delta = \beta-1$のとき、

$\gamma + \delta = (\alpha-1) + (\beta-1) = (\alpha + \beta) - 2 = -3 - 2 = -5$

$\gamma\delta = (\alpha-1)(\beta-1) = \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = -2 - (-3) + 1 = -2+3+1 = 2$

よって、求める2次方程式は $x^2 + 5x + 2 = 0$

(2) $\gamma = \frac{1}{\alpha}$, $\delta = \frac{1}{\beta}$のとき、

$\gamma + \delta = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

$\gamma\delta = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

よって、求める2次方程式は $x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0$

両辺を2倍して $2x^2 - 3x - 1 = 0$

(3) $\gamma = \alpha^2$, $\delta = \beta^2$のとき、

$\gamma + \delta = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-3)^2 - 2(-2) = 9+4 = 13$

$\gamma\delta = \alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-2)^2 = 4$

よって、求める2次方程式は $x^2 - 13x + 4 = 0$

3. 最終的な答え

問題18：

(1) $x^2 - x - 6 = 0$

(2) $x^2 - 2x - 1 = 0$

(3) $x^2 - 4x + 13 = 0$

問題19：

(1) $x^2 + 5x + 2 = 0$

(2) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

(3) $x^2 - 13x + 4 = 0$