$c$ は実数の定数とする。複素数平面上で $\alpha = c + i$, $\beta = 1$, $\gamma = 3i$ を表す点をそれぞれ A, B, C とするとき、以下の問いに答える。 (1) 3点 A, B, C が一直線上にあるように、$c$ の値を定めよ。 (2) 点 A が線分 BC を直径とする円上にあるように、$c$ の値を定めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$c$ は実数の定数とする。複素数平面上で $\alpha = c + i$, $\beta = 1$, $\gamma = 3i$ を表す点をそれぞれ A, B, C とするとき、以下の問いに答える。

(1) 3点 A, B, C が一直線上にあるように、$c$ の値を定めよ。

(2) 点 A が線分 BC を直径とする円上にあるように、$c$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点 A, B, C が一直線上にある条件は、$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta}$ が実数となることである。

$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \frac{3i - 1}{c + i - 1} = \frac{3i - 1}{(c-1) + i}$

これが実数となるためには、虚部が 0 であれば良い。

$\frac{3i - 1}{(c-1) + i}$ に $\frac{(c-1) - i}{(c-1) - i}$ をかけて分母を実数にする。

$\frac{(3i - 1)((c-1) - i)}{((c-1) + i)((c-1) - i)} = \frac{3i(c-1) - 3i^2 - (c-1) + i}{(c-1)^2 - i^2} = \frac{3(c-1) + 3i(c-1) - (c-1) + i}{(c-1)^2 + 1}$

$= \frac{3(c-1) - (c-1) + i(3(c-1) + 1)}{(c-1)^2 + 1} = \frac{2(c-1) + i(3c - 3 + 1)}{(c-1)^2 + 1} = \frac{2(c-1) + i(3c - 2)}{(c-1)^2 + 1}$

虚部が 0 となるためには $3c - 2 = 0$ であれば良いので $c = \frac{2}{3}$

(2) 点 A が線分 BC を直径とする円上にある条件は、$\angle BAC = 90^\circ$ である。これは、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が純虚数となることと同値である。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{3i - (c + i)}{1 - (c + i)} = \frac{3i - c - i}{1 - c - i} = \frac{-c + 2i}{(1-c) - i}$

$\frac{-c + 2i}{(1-c) - i} \cdot \frac{(1-c) + i}{(1-c) + i} = \frac{(-c + 2i)((1-c) + i)}{(1-c)^2 - i^2} = \frac{-c(1-c) - c i + 2i(1-c) + 2i^2}{(1-c)^2 + 1} = \frac{-c + c^2 - 2 + i(-c + 2 - 2c)}{(1-c)^2 + 1} = \frac{c^2 - c - 2 + i(-3c + 2)}{(1-c)^2 + 1}$

これが純虚数になるためには、実部が 0 であればよい。

$c^2 - c - 2 = 0$

$(c - 2)(c + 1) = 0$

$c = 2, -1$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{2}{3}$

(2) $c = 2, -1$