関数 $y=ax+b$ において、$x$ の定義域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の値域が $-7 \le y \le 8$ となるような定数 $a, b$ の値を、$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合にそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y=ax+b$ において、$x$ の定義域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の値域が $-7 \le y \le 8$ となるような定数 $a, b$ の値を、$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合にそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a > 0$ の場合

$y = ax + b$ は $x$ について単調増加な関数です。したがって、$x = -1$ のときに $y$ は最小値をとり、$x = 2$ のときに $y$ は最大値をとります。

よって、

$a(-1) + b = -7$

$a(2) + b = 8$

という連立方程式が成り立ちます。これを解きます。

1つ目の式を-1倍すると、

$a-b=7$

2つ目の式は

$2a+b=8$

2つの式を足すと

$3a=15$

$a=5$

$a-b=7$に代入すると

$5-b=7$

$b=-2$

したがって、$a = 5, b = -2$ となります。

(2) $a < 0$ の場合

$y = ax + b$ は $x$ について単調減少な関数です。したがって、$x = -1$ のときに $y$ は最大値をとり、$x = 2$ のときに $y$ は最小値をとります。

よって、

$a(-1) + b = 8$

$a(2) + b = -7$

という連立方程式が成り立ちます。これを解きます。

1つ目の式は

$-a+b=8$

2つ目の式は

$2a+b=-7$

1つ目の式から2つ目の式を引くと

$(-a-2a)+(b-b)=8-(-7)$

$-3a=15$

$a=-5$

$-a+b=8$に代入すると

$-(-5)+b=8$

$5+b=8$

$b=3$

したがって、$a = -5, b = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a > 0$ の場合：$a = 5, b = -2$

(2) $a < 0$ の場合：$a = -5, b = 3$