関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 - 4 + a$

これは軸が $x = 2$ の下に凸な放物線である。

定義域は $0 \le x \le 5$ である。軸 $x = 2$ はこの定義域に含まれている。

最大値は、軸から最も離れた $x=5$ でとる。

したがって、$x = 5$ のとき $y = 11$ となる。

$11 = (5 - 2)^2 - 4 + a = 9 - 4 + a = 5 + a$

よって $a = 11 - 5 = 6$

$a = 6$ のとき、関数は $y = x^2 - 4x + 6$ となる。最小値は、軸 $x = 2$ でとる。

$x = 2$ のとき $y = (2 - 2)^2 - 4 + 6 = -4 + 6 = 2$

3. 最終的な答え

$a = 6$

最小値は $2$