2次関数 $y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$ の最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $m$ を $a$ の式で表しなさい。 (2) $m$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$ の最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $m$ を $a$ の式で表しなさい。

(2) $m$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$

$y = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 - a^2 + 4a + 5$

$y = (x + a)^2 - 2a^2 + 4a + 5$

よって、頂点の座標は $(-a, -2a^2 + 4a + 5)$ となります。

この2次関数のグラフは下に凸であるため、最小値は頂点の $y$ 座標に等しくなります。

したがって、$m = -2a^2 + 4a + 5$ となります。

(2) 次に、$m = -2a^2 + 4a + 5$ の最大値を求めます。

$m = -2(a^2 - 2a) + 5$

$m = -2(a^2 - 2a + 1 - 1) + 5$

$m = -2((a - 1)^2 - 1) + 5$

$m = -2(a - 1)^2 + 2 + 5$

$m = -2(a - 1)^2 + 7$

$m$ は $a = 1$ のときに最大値 7 をとります。

3. 最終的な答え

(1) $m = -2a^2 + 4a + 5$

(2) $m$ の最大値は 7, そのときの $a$ の値は 1