$a>2$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$ の $1 \le x \le 5$ における最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。 $M$, $m$ をそれぞれ $a$ を用いて表し、$M = 3m + 38$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a>2$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$ の $1 \le x \le 5$ における最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。

$M$, $m$ をそれぞれ $a$ を用いて表し、$M = 3m + 38$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 - 2$ を平方完成する。

$y = x^2 - 2(a+1)x + (a+1)^2 - (a+1)^2 + a^2 - 2$

$y = (x - (a+1))^2 - (a^2 + 2a + 1) + a^2 - 2$

$y = (x - (a+1))^2 - 2a - 3$

軸は $x = a+1$ である。

(2) $M$ を求める。$1 \le x \le 5$ の範囲で、$x=1$ または $x=5$ で最大となる。

$x=1$ のとき $y = 1 - 2(a+1) + a^2 - 2 = a^2 - 2a - 3$

$x=5$ のとき $y = 25 - 10(a+1) + a^2 - 2 = a^2 - 10a + 13$

$M = \max(a^2 - 2a - 3, a^2 - 10a + 13)$

$a^2 - 2a - 3 = a^2 - 10a + 13$ を解くと $8a = 16$, $a = 2$

$a > 2$ なので、常に $a^2 - 2a - 3 > a^2 - 10a + 13$ である。

よって、$M = a^2 - 2a - 3$

(3) $m$ を求める。軸 $x = a+1$ の位置によって場合分けする。

(i) $2 < a < 4$ のとき ($3 < a+1 < 5$)、軸が $1 \le x \le 5$ の範囲にあるので、頂点で最小となる。

$m = -2a - 3$

(ii) $4 \le a$ のとき ($5 \le a+1$)、軸が $1 \le x \le 5$ の範囲より右にあるので、$x=5$ で最小となる。

$m = a^2 - 10a + 13$

(4) $M = 3m + 38$ を解く。

(i) $2 < a < 4$ のとき

$a^2 - 2a - 3 = 3(-2a - 3) + 38$

$a^2 - 2a - 3 = -6a - 9 + 38$

$a^2 + 4a - 32 = 0$

$(a+8)(a-4) = 0$

$a = -8, 4$

$2 < a < 4$ を満たすものはない。

(ii) $4 \le a$ のとき

$a^2 - 2a - 3 = 3(a^2 - 10a + 13) + 38$

$a^2 - 2a - 3 = 3a^2 - 30a + 39 + 38$

$2a^2 - 28a + 80 = 0$

$a^2 - 14a + 40 = 0$

$(a-4)(a-10) = 0$

$a = 4, 10$

$4 \le a$ を満たすものは $a = 4, 10$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3

ウ：4

エオ：-2

カ：3

キク：10

ケコ：13

サ：4

シス：10