与えられた数列の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列の一般項を求めます。 (1) 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ... (2) 3, 4, 7, 16, 43, 124, 367, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列の一般項を求めます。

(1) 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...

(2) 3, 4, 7, 16, 43, 124, 367, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について

数列の差を計算してみます。

2 - 1 = 1

5 - 2 = 3

10 - 5 = 5

17 - 10 = 7

26 - 17 = 9

37 - 26 = 11

差が等差数列になっているので、元の数列は2階差数列です。

$a_n = An^2 + Bn + C$ とおいて、$n=1, 2, 3$ を代入して、$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 5$ となるようにA, B, Cを決定します。

$A + B + C = 1$

$4A + 2B + C = 2$

$9A + 3B + C = 5$

上の式から下の式を引くと

$3A + B = 1$

$5A + B = 3$

さらに上の式から下の式を引くと

$2A = 2$ よって $A = 1$

$3(1) + B = 1$ より $B = -2$

$1 - 2 + C = 1$ より $C = 2$

したがって、$a_n = n^2 - 2n + 2$。これは、$a_n = (n-1)^2 + 1$ とも表せる。

(2) の数列について

数列の差を計算してみます。

4 - 3 = 1

7 - 4 = 3

16 - 7 = 9

43 - 16 = 27

124 - 43 = 81

367 - 124 = 243

差が $3^{n-2}$ になっています。つまり、$a_{n+1} - a_n = 3^{n-2}$です。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-2} = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-2} = 3 + \sum_{k=-1}^{n-3} 3^{k}$

$= 3 + 3^{-1} + 3^{0} + \sum_{k=1}^{n-3} 3^k = 3 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{3(3^{n-3} - 1)}{3 - 1}$

$= 4 + \frac{1}{3} + \frac{3^{n-2} - 3}{2} = \frac{12 + 1}{3} + \frac{3^{n-2} - 3}{2} = \frac{13}{3} + \frac{3^{n-2} - 3}{2}$

$= \frac{26 + 3 \cdot 3^{n-2} - 9}{6} = \frac{17 + 3^{n-1}}{6}$

$n = 1$ のとき $a_1 = \frac{17 + 1}{6} = 3$

$n = 2$ のとき $a_2 = \frac{17 + 3}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \ne 4$

これは間違っている。

$a_{n+1} - a_n = 3^{n-2}$ を使う。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-2}$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-2}$

$a_n = 3 + \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

$a_n = 3 + \frac{1}{9} \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1}$

$a_n = 3 + \frac{1}{9} \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = 3 + \frac{3^{n-1} - 1}{6}$

$a_n = \frac{18 + 3^{n-1} - 1}{6} = \frac{17 + 3^{n-1}}{6}$

$a_1 = (17+1)/6 = 3$

$a_2 = (17+3)/6 = 20/6 = 10/3 \ne 4$

漸化式を使う方法で考え直す。$a_{n+1} = a_n + 3^{n-2}$

$a_1 = 3$

別の見方をする。

$a_1 = 3 = 3^0 + 2$

$a_2 = 4 = 3^0 + 3$

$a_3 = 7 = 3^1 + 4$

$a_4 = 16 = 3^2 + 7$

$a_5 = 43 = 3^3 + 16$

$a_6 = 124 = 3^4 + 43$

$a_7 = 367 = 3^5 + 124$

$a_n = 3^{n-2} + a_{n-1}$

$a_n = 3^{n-2} + 3^{n-3} + a_{n-2}$

$a_n = 3^{n-2} + 3^{n-3} + \dots + 3^0 + a_1$

$a_n = \sum_{k=0}^{n-2} 3^k + 3 = \frac{3^{n-1} - 1}{3 - 1} + 3 = \frac{3^{n-1} - 1}{2} + 3$

$a_n = \frac{3^{n-1} - 1 + 6}{2} = \frac{3^{n-1} + 5}{2}$

$a_1 = (1+5)/2 = 3$

$a_2 = (3+5)/2 = 4$

$a_3 = (9+5)/2 = 7$

$a_4 = (27+5)/2 = 16$

$a_5 = (81+5)/2 = 43$

$a_6 = (243+5)/2 = 124$

$a_7 = (729+5)/2 = 367$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 2$

(2) $a_n = \frac{3^{n-1} + 5}{2}$