$x + 2y = 6$ かつ $x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、次の式の最大値と最小値を求めよ。 (1) $xy$ (2) $x^2 + 2y^2$

1. 問題の内容

$x + 2y = 6$ かつ $x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、次の式の最大値と最小値を求めよ。

(1) $xy$

(2) $x^2 + 2y^2$

2. 解き方の手順

(1)

$x + 2y = 6$ より、$x = 6 - 2y$ である。$x \geq 0$ より $6 - 2y \geq 0$ なので、$y \leq 3$。

$x, y$ は非負なので $0 \leq y \leq 3$。

$xy = (6 - 2y)y = 6y - 2y^2 = -2(y^2 - 3y) = -2(y - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

よって、$y = \frac{3}{2}$ のとき、$xy$ は最大値 $\frac{9}{2}$ をとる。このとき、$x = 6 - 2(\frac{3}{2}) = 3$。

また、$y = 0$ または $y = 3$ のとき、$xy = 0$ となり最小値となる。このとき、$x = 6$ または $x = 0$。

(2)

$x = 6 - 2y$ より、$x^2 + 2y^2 = (6 - 2y)^2 + 2y^2 = 36 - 24y + 4y^2 + 2y^2 = 6y^2 - 24y + 36 = 6(y^2 - 4y) + 36 = 6(y - 2)^2 - 24 + 36 = 6(y - 2)^2 + 12$

$0 \leq y \leq 3$ において、$y = 2$ のとき、$x^2 + 2y^2$ は最小値 $12$ をとる。このとき、$x = 6 - 2(2) = 2$。

$y = 0$ のとき、$x^2 + 2y^2 = 36$。このとき、$x = 6$。

$y = 3$ のとき、$x^2 + 2y^2 = 6(3 - 2)^2 + 12 = 18$。このとき、$x = 0$。

よって、$y = 0$ のとき、$x^2 + 2y^2$ は最大値 $36$ をとる。このとき、$x = 6$。

3. 最終的な答え

(1) $xy$ の最大値: $\frac{9}{2}$、最小値: $0$

(2) $x^2 + 2y^2$ の最大値: $36$、最小値: $12$