自然数 $n$ に対して、次の式を $n$ の式で表せ。 $\qquad {}_nC_0 + n {}_nC_1 + n^2 {}_nC_2 + \cdots + n^{n-1} {}_nC_{n-1} + n^n {}_nC_n$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、次の式を $n$ の式で表せ。

$\qquad {}_nC_0 + n {}_nC_1 + n^2 {}_nC_2 + \cdots + n^{n-1} {}_nC_{n-1} + n^n {}_nC_n$

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理とは、任意の$x$、$y$と自然数$n$に対して、

$\qquad (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^{n-k} y^k = {}_nC_0 x^n + {}_nC_1 x^{n-1} y + {}_nC_2 x^{n-2} y^2 + \cdots + {}_nC_n y^n$

が成り立つというものです。

この式で、$x=1$、$y=n$とすると、

$\qquad (1+n)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k 1^{n-k} n^k = \sum_{k=0}^n {}_nC_k n^k = {}_nC_0 + n {}_nC_1 + n^2 {}_nC_2 + \cdots + n^{n-1} {}_nC_{n-1} + n^n {}_nC_n$

となります。

したがって、求めるべき式は $(1+n)^n$ に等しいことがわかります。

3. 最終的な答え

$(1+n)^n$