与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x - 1$ (2) $y = -2x^2 - 8x - 6$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 2x - 1$

(2) $y = -2x^2 - 8x - 6$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x - 1$ の場合：

まず、平方完成を行います。

$y = (x^2 + 2x) - 1$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) - 1$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 1$

$y = (x + 1)^2 - 2$

この式から、頂点は $(-1, -2)$ であり、軸は $x = -1$ であることがわかります。

(2) $y = -2x^2 - 8x - 6$ の場合：

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = -2(x^2 + 4x) - 6$

次に、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 6$

$y = -2((x + 2)^2 - 4) - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 2$

この式から、頂点は $(-2, 2)$ であり、軸は $x = -2$ であることがわかります。

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$の場合：

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{10}{3}$

次に、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + \frac{6}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

この式から、頂点は $(2, 2)$ であり、軸は $x = 2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, -2)$

(2) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, 2)$

(3) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 2)$