$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$k(k-1) = k^2 - k$ であることを利用して、与えられた和を2つの和に分解します。

$$\sum_{k=2}^{n} k(k-1) = \sum_{k=2}^{n} (k^2 - k) = \sum_{k=2}^{n} k^2 - \sum_{k=2}^{n} k$$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。

ただし、和の範囲が $k=2$ から始まっているため、これらの公式を直接使うことはできません。そこで、それぞれの和から $k=1$ の項を引きます。

$\sum_{k=2}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1$

$\sum_{k=2}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 1$

したがって、

$$\sum_{k=2}^{n} k(k-1) = \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 \right) - \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right)$$

$$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}$$

$$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6}$$

$$= \frac{n(n+1)(2n+1-3)}{6}$$

$$= \frac{n(n+1)(2n-2)}{6}$$

$$= \frac{2n(n+1)(n-1)}{6}$$

$$= \frac{n(n+1)(n-1)}{3}$$

$$= \frac{n(n^2-1)}{3} = \frac{n^3-n}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^3-n}{3}$