$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$k(k-1) = k^2 - k$ と変形します。

次に、$\sum_{k=2}^{n} k^2 - k = \sum_{k=2}^{n} k^2 - \sum_{k=2}^{n} k$ と分解します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

$\sum_{k=2}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 1$

$\sum_{k=2}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1$

したがって、

$\sum_{k=2}^{n} k(k-1) = \sum_{k=2}^{n} k^2 - \sum_{k=2}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 - (\frac{n(n+1)}{2} - 1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1 - 3)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n-2)}{6} = \frac{2n(n+1)(n-1)}{6} = \frac{n(n+1)(n-1)}{3}$

$= \frac{n(n^2-1)}{3} = \frac{n^3 - n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^3 - n}{3}$