問題は、台車Aと台車Bが連結された状態で、糸を切ったり、初速度を与えた後に糸を切ったりした場合に、台車Bがどのような速度で進むかを求める問題、爆発によって物体が分裂した後のAとBの速度を求める問題、2球が衝突した後のそれぞれの速度を求める問題です。

## 問題の解答

1. 問題の内容

問題は、台車Aと台車Bが連結された状態で、糸を切ったり、初速度を与えた後に糸を切ったりした場合に、台車Bがどのような速度で進むかを求める問題、爆発によって物体が分裂した後のAとBの速度を求める問題、2球が衝突した後のそれぞれの速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

**(1) 台車Aと台車Bの問題**

(1) 運動量保存則を用います。糸を切る前は静止しているので、運動量は0です。糸を切った後、台車Aは左向きに0.30 m/sで進むので、台車Bは右向きに進むはずです。運動量保存則より、

$0 = m_A v_A + m_B v_B$

ここで、$m_A = 2.0 kg$, $v_A = -0.30 m/s$, $m_B = 1.0 kg$なので、

$0 = 2.0 * (-0.30) + 1.0 * v_B$

$v_B = 0.60 m/s$

よって、台車Bは右向きに0.60 m/sで進みます。

(2) 同様に、運動量保存則を用います。初めに左向きに0.40 m/sで進んでいるので、全体の運動量は$(m_A + m_B) * (-0.40)$です。

糸を切った後、台車Aは左向きに0.70 m/sで進むので、台車Bの速度を$v_B$とすると、運動量保存則より、

$(m_A + m_B) * (-0.40) = m_A v_A + m_B v_B$

$(2.0 + 1.0) * (-0.40) = 2.0 * (-0.70) + 1.0 * v_B$

$-1.2 = -1.4 + v_B$

$v_B = 0.20 m/s$

よって、台車Bは右向きに0.20 m/sで進みます。

**(2) 爆発による物体の分裂**

(1) なめらかな水平面上の運動においては、物体に働く力は重力ですが、重力は鉛直方向なので、運動方向には仕事をしません。また、爆発によって物体AとBが受ける力積は、大きさが等しく、向きが反対です。

爆発の前後で運動量が成り立ちます。

x成分：$M*V = m_A * v_{Ax} + m_B * v_{Bx}$

y成分：$0 = m_A * v_{Ay} + m_B * v_{By}$

ここで、$m_A = \frac{2}{3}M$, $m_B = \frac{1}{3}M$, $v_{Ax} = v_A \cos(45^\circ) = v_A \frac{\sqrt{2}}{2}$, $v_{Ay} = v_A \sin(45^\circ) = v_A \frac{\sqrt{2}}{2}$, $v_{Bx} = v_B \cos(-30^\circ) = v_B \frac{\sqrt{3}}{2}$, $v_{By} = v_B \sin(-30^\circ) = -v_B \frac{1}{2}$

なので、

$MV = \frac{2}{3}M v_A \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3}M v_B \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 = \frac{2}{3}M v_A \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3}M v_B \frac{1}{2}$

これらを解くと、

$v_B = \sqrt{2} v_A$

$V = \frac{\sqrt{2}}{3}v_A + \frac{\sqrt{3}}{6}v_B = \frac{\sqrt{2}}{3}v_A + \frac{\sqrt{6}}{6}v_A = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}v_A$

よって、$v_A = \frac{6}{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}V = \frac{6(2\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}V = \frac{6(2\sqrt{2}-\sqrt{6})}{8-6}V = 3(2\sqrt{2}-\sqrt{6})V$

$v_B = \sqrt{2}v_A = 3(4-2\sqrt{3})V$

(2) 爆発による力学的エネルギーの増加は、$\frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 - \frac{1}{2} M V^2$で表されます。

$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}M)(3(2\sqrt{2}-\sqrt{6})V)^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}M)(3(4-2\sqrt{3})V)^2 - \frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}M (12-6\sqrt{3}+16-12\sqrt{3})V^2 - \frac{1}{2}M V^2$

**(3) 平面内での2球の衝突**

衝突前後の運動に対して、運動量保存則が成り立ちます。

x成分：$m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} + m_2 v_{Bx}$

y成分：$0 = m_1 v_{Ay} + m_2 v_{By}$

いま、$tan \theta_A = 1$となる場合には、$v_{Ay} = v_{Ax}$となるので、これを式(2)に代入し、

$0 = m_1 v_{Ax} + m_2 v_{By}$

$v_{By} = -\frac{m_1}{m_2} v_{Ax}$

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{v_0-v_{Ax}}{v_{Ax}}$

$m_1 v_0 = m_1 v_{Ax} - m_2 \frac{m_1}{m_2}v_{Ax}$

$v_{Ax}= v_{0}/2$

3. 最終的な答え

* 台車Aと台車Bの問題

* (1) 右向きに 0.60 m/s

* (2) 右向きに 0.20 m/s

* 爆発による物体の分裂

* 大きさ: 等しい

* 向き: 反対

* 運動量

* $v_B = \sqrt{2} v_A$

* $V = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}v_A$

* 力学的エネルギーの増加: $\frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 - \frac{1}{2} M V^2$

* 平面内での2球の衝突

* 運動量保存則

* $v_{By} = -\frac{m_1}{m_2} v_{Ax}$

* $v_{Ax}= v_{0}/2$