問題は以下の2つです。 (1) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とする。$a, b$の値を求めよ。 (2) 不等式$\frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a} + \frac{x}{b}$を解け。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$, 小数部分を$b$とする。$a, b$の値を求めよ。

(2) 不等式$\frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a} + \frac{x}{b}$を解け。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$のおおよその値は$1.732$なので、$2+\sqrt{3}$のおおよその値は$3.732$となります。

よって、整数部分$a = 3$となります。

小数部分$b$は、$b = (2+\sqrt{3}) - a = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3}-1$となります。

(2) $\frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a} + \frac{x}{b}$に、$a=3$, $b=\sqrt{3}-1$を代入します。

$2+\sqrt{3} < \frac{6}{3} + \frac{x}{\sqrt{3}-1}$

$2+\sqrt{3} < 2 + \frac{x}{\sqrt{3}-1}$

$\sqrt{3} < \frac{x}{\sqrt{3}-1}$

$x$について解きます。両辺に$\sqrt{3}-1$をかけます。$\sqrt{3}-1>0$なので、不等号の向きは変わりません。

$\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) < x$

$3-\sqrt{3} < x$

よって、$x > 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{3}-1$

(2) $x > 3-\sqrt{3}$