数列の一般項が $a_n = (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表されるとき、初項から第n項までの和 $S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^{k-1}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題10を解きます。

1. 問題の内容

数列の一般項が $a_n = (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表されるとき、初項から第n項までの和 $S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^{k-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

和 $S$ を以下のように書きます。

$S = 1 \cdot 3^0 + 3 \cdot 3^1 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

この式に3をかけます。

$3S = 1 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = 1 \cdot 3^0 + (3-1) \cdot 3^1 + (5-3) \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いて、括弧内の和を計算します。

$3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

これを代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n (1 - (2n-1)) - 2$

$-2S = 3^n (2 - 2n) - 2$

$-2S = 2 \cdot 3^n (1 - n) - 2$

$S = -3^n (1 - n) + 1$

$S = (n-1)3^n + 1$

3. 最終的な答え

$(n-1)3^n + 1$