問題1: $A = x + y + z$, $B = 2x - y - z$, $C = x - y - 3z$ とする。次の式を計算せよ。 (1) $2(A - B) - (B - C)$ (2) $3(A + C) - 2(2B - A)$ 問題2: 次の式を展開せよ。 (1) $(2m + 5)(m - 2)$ (2) $(4x - 5a)(4x + 5a)$ (3) $(-x - 2)^2$ (4) $(x - a)(a + x)$ (5) $(x - a + 1)^2$ (6) $(a + b - c)(a - b + c)$ 問題3: 次の式を因数分解せよ。 (1) $2ax^2 - 8a$ (2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$ (4) $4n^3 + 6n^2 + 2n$ (5) $x^3 + x^2y - x^2 - y$ (6) $4x^2 - y^2 - 2y - 1$ (7) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ (8) $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$

はい、承知いたしました。問題集のOCRテキストに基づいて、以下の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1: $A = x + y + z$, $B = 2x - y - z$, $C = x - y - 3z$ とする。次の式を計算せよ。

(1) $2(A - B) - (B - C)$

(2) $3(A + C) - 2(2B - A)$

問題2: 次の式を展開せよ。

(1) $(2m + 5)(m - 2)$

(2) $(4x - 5a)(4x + 5a)$

(3) $(-x - 2)^2$

(4) $(x - a)(a + x)$

(5) $(x - a + 1)^2$

(6) $(a + b - c)(a - b + c)$

問題3: 次の式を因数分解せよ。

(1) $2ax^2 - 8a$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$

(4) $4n^3 + 6n^2 + 2n$

(5) $x^3 + x^2y - x^2 - y$

(6) $4x^2 - y^2 - 2y - 1$

(7) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$

(8) $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $2(A - B) - (B - C)$

まず、$A - B$ と $B - C$ を計算します。

$A - B = (x + y + z) - (2x - y - z) = x + y + z - 2x + y + z = -x + 2y + 2z$

$B - C = (2x - y - z) - (x - y - 3z) = 2x - y - z - x + y + 3z = x + 2z$

したがって、

$2(A - B) - (B - C) = 2(-x + 2y + 2z) - (x + 2z) = -2x + 4y + 4z - x - 2z = -3x + 4y + 2z$

(2) $3(A + C) - 2(2B - A)$

まず、$A + C$ と $2B - A$ を計算します。

$A + C = (x + y + z) + (x - y - 3z) = 2x - 2z$

$2B - A = 2(2x - y - z) - (x + y + z) = 4x - 2y - 2z - x - y - z = 3x - 3y - 3z$

したがって、

$3(A + C) - 2(2B - A) = 3(2x - 2z) - 2(3x - 3y - 3z) = 6x - 6z - 6x + 6y + 6z = 6y$

問題2:

(1) $(2m + 5)(m - 2) = 2m^2 - 4m + 5m - 10 = 2m^2 + m - 10$

(2) $(4x - 5a)(4x + 5a) = (4x)^2 - (5a)^2 = 16x^2 - 25a^2$

(3) $(-x - 2)^2 = (-1)^2 (x + 2)^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$

(4) $(x - a)(a + x) = (x - a)(x + a) = x^2 - a^2$

(5) $(x - a + 1)^2 = ((x - a) + 1)^2 = (x - a)^2 + 2(x - a)(1) + 1^2 = x^2 - 2ax + a^2 + 2x - 2a + 1 = x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

(6) $(a + b - c)(a - b + c) = (a + (b - c))(a - (b - c)) = a^2 - (b - c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

問題3:

(1) $2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4) = 2a(x - 2)(x + 2)$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2 = x^2(a - b) + y^2(b - a) = x^2(a - b) - y^2(a - b) = (a - b)(x^2 - y^2) = (a - b)(x - y)(x + y)$

(3) $(x - 4)(3x + 1) + 10 = 3x^2 + x - 12x - 4 + 10 = 3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3)$

(4) $4n^3 + 6n^2 + 2n = 2n(2n^2 + 3n + 1) = 2n(2n + 1)(n + 1)$

(5) $x^3 + x^2y - x^2 - y = x^2(x + y) - (x^2 + y)$　これはうまく因数分解できません。元の問題文が間違っていないか確認が必要です。問題文が $x^3 + x^2y - x - y$ であれば、$x^2(x + y) - (x + y) = (x + y)(x^2 - 1) = (x + y)(x - 1)(x + 1)$となります。

(6) $4x^2 - y^2 - 2y - 1 = 4x^2 - (y^2 + 2y + 1) = (2x)^2 - (y + 1)^2 = (2x - (y + 1))(2x + (y + 1)) = (2x - y - 1)(2x + y + 1)$

(7) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 = x^2 + (2a + 4)x + (-3a^2 + 8a + 3) = x^2 + (2a + 4)x - (3a^2 - 8a - 3) = x^2 + (2a + 4)x - (3a + 1)(a - 3) = (x + 3a + 1)(x - a + 3)$

(8) $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2 = 2x^2 + (-y - 3)x + (-3y^2 + 7y - 2) = 2x^2 + (-y - 3)x - (3y - 1)(y - 2) = (2x - 3y + 1)(x + y - 2)$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $-3x + 4y + 2z$

(2) $6y$

問題2:

(1) $2m^2 + m - 10$

(2) $16x^2 - 25a^2$

(3) $x^2 + 4x + 4$

(4) $x^2 - a^2$

(5) $x^2 - 2ax + 2x + a^2 - 2a + 1$

(6) $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

問題3:

(1) $2a(x - 2)(x + 2)$

(2) $(a - b)(x - y)(x + y)$

(3) $(3x - 2)(x - 3)$

(4) $2n(2n + 1)(n + 1)$

(5) $(x+y)(x-1)(x+1)$ (問題文が $x^3 + x^2y - x - y$ の場合)

(6) $(2x - y - 1)(2x + y + 1)$

(7) $(x + 3a + 1)(x - a + 3)$

(8) $(2x - 3y + 1)(x + y - 2)$