$a > 0$、$b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明します。 (1) $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ (2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \geq 4$ (3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$ （問題文に記載されていませんが、おそらくこの不等式も証明するように求められています。）

1. 問題の内容

$a > 0$、$b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明します。

(1) $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \geq 4$

(3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$ （問題文に記載されていませんが、おそらくこの不等式も証明するように求められています。）

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を利用します。$x > 0$ に対して、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立ちます。これは $x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$ となるからです。等号成立は $x = 1$ のときです。

$ab > 0$ であるので、$x = ab$ とおけば、$ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ が成り立ちます。等号成立は $ab = 1$ のときです。

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ と展開できます。ここで、$\frac{a}{b} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = 2$ が成り立ちます。したがって、$(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 + 2 = 4$ が成り立ちます。等号成立は $\frac{a}{b} = 1$ つまり $a = b$ のときです。

(3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = ab + 1 + 1 + \frac{1}{ab} = ab + \frac{1}{ab} + 2$ と展開できます。ここで、$ab > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より、$ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ が成り立ちます。したがって、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) = ab + \frac{1}{ab} + 2 \geq 2 + 2 = 4$ が成り立ちます。等号成立は $ab = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$

(2) $(1 + \frac{b}{a})(1 + \frac{a}{b}) \geq 4$

(3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) \geq 4$