与えられた分数の式を簡単にせよ。 $$ \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} $$

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡単にせよ。

$$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$$

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行う。分母と分子に $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ をかける。

$$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$$

分子を計算する：

\begin{align*}

&(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \\

&= 1 + 2 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} \\

&= 6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}

\end{align*}

分母を計算する：

\begin{align*}

&(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2})(1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}) \\

&= (1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 \\

&= 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 \\

&= 2 + 2\sqrt{3}

\end{align*}

したがって、

$$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{2 + 2\sqrt{3}}$$

$$= \frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$$

再度分母の有理化を行う。分母と分子に $1 - \sqrt{3}$ をかける。

$$\frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$$

分子を計算する：

\begin{align*}

&(3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3}) \\

&= 3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 + 3\sqrt{2} \\

&= 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}

\end{align*}

分母を計算する：

$$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1 - 3 = -2$$

したがって、

$$\frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$$\sqrt{3} - \sqrt{2}$$