不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形して考える。

まず、$x, y, z$ に関する2次形式として表現し、平方完成を行うことを目指す。

$ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$

$x$ について整理する:

$ax^2 - (y+z)x + (y^2 + az^2 - yz) \geq 0$

$x$ について平方完成する:

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 - a(\frac{y+z}{2a})^2 + (y^2 + az^2 - yz) \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 - \frac{(y+z)^2}{4a} + y^2 + az^2 - yz \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 + (y^2 + az^2 - yz) - \frac{y^2 + 2yz + z^2}{4a} \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 + (1 - \frac{1}{4a})y^2 + (a - \frac{1}{4a})z^2 - (1 + \frac{1}{2a})yz \geq 0$

次に、$y, z$ について整理する。

$a > 0$ でなければならない。なぜなら、$x=y=z=0$ でない場合に、$a<0$ならば、$x$を十分に大きくすれば、不等式は成立しなくなるからである。したがって、$a>0$とする。

$(1 - \frac{1}{4a})y^2 - (1 + \frac{1}{2a})yz + (a - \frac{1}{4a})z^2 \geq 0$

$y$ について平方完成する。

$(1 - \frac{1}{4a})(y - \frac{1 + \frac{1}{2a}}{2(1 - \frac{1}{4a})}z)^2 - (1 - \frac{1}{4a})(\frac{1 + \frac{1}{2a}}{2(1 - \frac{1}{4a})})^2z^2 + (a - \frac{1}{4a})z^2 \geq 0$

$(1 - \frac{1}{4a})(y - \frac{1 + \frac{1}{2a}}{2(1 - \frac{1}{4a})}z)^2 + (a - \frac{1}{4a} - \frac{(1 + \frac{1}{2a})^2}{4(1 - \frac{1}{4a})})z^2 \geq 0$

すべての実数 $x, y, z$ に対して不等式が成り立つためには、

$1 - \frac{1}{4a} > 0$ かつ

$a - \frac{1}{4a} - \frac{(1 + \frac{1}{2a})^2}{4(1 - \frac{1}{4a})} \geq 0$

でなければならない。

$1 - \frac{1}{4a} > 0 \implies 4a > 1 \implies a > \frac{1}{4}$

$a - \frac{1}{4a} - \frac{(1 + \frac{1}{2a})^2}{4(1 - \frac{1}{4a})} \geq 0$

$a - \frac{1}{4a} - \frac{(1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{4a^2})}{4(1 - \frac{1}{4a})} \geq 0$

$a - \frac{1}{4a} - \frac{1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{4a^2}}{4 - \frac{1}{a}} \geq 0$

$a - \frac{1}{4a} - \frac{4a^2 + 4a + 1}{16a^2 - 4a} \geq 0$

$\frac{16a^3 - 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 4a - 1}{16a^2 - 4a} \geq 0$

$\frac{16a^3 - 8a^2 - 8a}{16a^2 - 4a} \geq 0$

$\frac{4a(4a^2 - 2a - 2)}{4a(4a - 1)} \geq 0$

$\frac{4a^2 - 2a - 2}{4a - 1} \geq 0$

$\frac{2a^2 - a - 1}{4a - 1} \geq 0$

$\frac{(2a + 1)(a - 1)}{4a - 1} \geq 0$

$a > \frac{1}{4}$ より、 $4a - 1 > 0$ であるので、

$(2a + 1)(a - 1) \geq 0$

$a > \frac{1}{4}$ より、$2a + 1 > 0$ であるので、

$a - 1 \geq 0$

$a \geq 1$

3. 最終的な答え

$a \geq 1$